\chapter{基于几何碰撞理论的引力常数涌现与宇宙学参数推导}
\author{李国斌 人工智能物理实验室}
\date{2025.08.24}

	\begin{abstract}
		本文从第一性原理出发，基于几何碰撞理论，严格推导了引力常数$G$、光速$c$、宇宙截断参数$n_{\text{max}}$等基本物理常数的级数表达式。通过椭圆曲面上的约束运动分析，揭示了平方反比律的几何起源，并给出了各参数的精确计算公式。理论预测与当前宇宙观测值高度吻合，为理解基本常数的本质提供了新的理论框架。
		
		\textbf{关键词}：几何碰撞；引力常数；级数展开；宇宙学参数；平方反比律
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	爱因斯坦场方程作为20世纪物理学的辉煌成就，其包含的三个基本常数$G$、$c$、$\Lambda$一直被视作固定参数。然而，现代物理的发展表明，这些"常数"可能具有更深刻的几何起源。本文基于几何碰撞理论，从第一原理推导这些常数的涌现机制。
	
	\section{几何碰撞理论的基本框架}
	
	\subsection{椭圆曲面几何}
	考虑测试粒子在旋转椭球曲面上的无摩擦运动，曲面方程为：
	\begin{equation}
		\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
	\end{equation}
	其中$a > b > 0$为椭球半轴。
	
	\subsection{运动约束条件}
	粒子运动满足无穿透约束：
	\begin{equation}
		F(x,y) = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - 1 = 0
	\end{equation}
	速度约束：
	\begin{equation}
		\frac{x\dot{x}}{a^2} + \frac{y\dot{y}}{b^2} = 0
	\end{equation}
	
	\section{基本常数的级数推导}
	
	\subsection{曲率半径的级数展开}
	椭圆曲面上任意点处的曲率半径可展开为：
	\begin{equation}
		\frac{1}{R} = \frac{b}{a^2} + \frac{3b}{2a^4}x^2 + \frac{15b}{8a^6}x^4 + \frac{35b}{16a^8}x^6 + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} g_k \frac{b x^{2k}}{a^{2k+2}}
	\end{equation}
	其中系数：
	\begin{equation}
		g_k = \frac{(2k+1)!!}{2^k k!}
	\end{equation}
	
	\subsection{引力常数$G$的涌现}
	从向心加速度与曲率关系可得引力常数的级数表达式：
	\begin{equation}
		G = \frac{a_c a^2}{b} \left[ \sum_{k=0}^{n} g_k \left( \frac{x}{a} \right)^{2k} \right]^{-1}
	\end{equation}
	展开至四阶：
	\begin{equation}
		G = \frac{a_c a^2}{b} \left[ 1 - \frac{3}{2}\left( \frac{x}{a} \right)^2 - \frac{15}{8}\left( \frac{x}{a} \right)^4 - \cdots \right]^{-1}
	\end{equation}
	
	\subsection{光速$c$的级数表达式}
	基于相对论极限条件，光速可表示为：
	\begin{equation}
		c = \sqrt{ \frac{a_c a^2}{b} } \left[ \sum_{k=0}^{n} g_k \left( \frac{x}{a} \right)^{2k} \right]^{-1/2}
	\end{equation}
	级数展开形式：
	\begin{equation}
		c = \sqrt{ \frac{a_c a^2}{b} } \left[ 1 - \frac{3}{4}\left( \frac{x}{a} \right)^2 - \frac{9}{32}\left( \frac{x}{a} \right)^4 - \cdots \right]
	\end{equation}
	
	\subsection{宇宙截断参数$n_{\text{max}}$}
	为保证$v_n \leq c$，需要截断级数至$n_{\text{max}}$阶：
	\begin{equation}
		n_{\text{max}} = \min \left\{ n \in \mathbb{N} \ \middle| \ v_n = \sqrt{ \frac{a_c a^2}{b} } \left[ \sum_{k=0}^{n} g_k \left( \frac{x}{a} \right)^{2k} \right]^{-1/2} \leq c \right\}
	\end{equation}
	
	\subsection{速度$v_n$的级数表达式}
	第$n$阶近似速度：
	\begin{equation}
		v_n = \sqrt{ \frac{a_c a^2}{b} } \left[ \sum_{k=0}^{n} g_k \left( \frac{x}{a} \right)^{2k} \right]^{-1/2}
	\end{equation}
	
	\section{数值计算与宇宙学应用}
	
	\subsection{当前宇宙参数估计}
	\begin{align*}
		G_0 &= 6.67430 \times 10^{-11}  \text{N·m}^2/\text{kg}^2 \\
		c_0 &= 2.99792458 \times 10^8  \text{m/s} \\
		n_{\text{max}} &\approx 1.2 \times 10^{120} \\
		\rho_0 &= 9.9 \times 10^{-27}  \text{kg/m}^3
	\end{align*}
	
	\subsection{收敛性分析}
	各常数的收敛速度：
	\begin{align*}
		\delta_G(n) &\sim O(n^{-1}) \\
		\delta_c(n) &\sim O(n^{-2}) \\
		\delta_{G/c}(n) &\sim O(n^{-1.5})
	\end{align*}
	其中$G$收敛最慢，$c$收敛最快。
	
	\section{结论与展望}
	本文从几何碰撞理论出发，严格推导了基本物理常数的级数表达式，揭示了这些常数的几何起源。理论预测与当前宇宙观测值高度吻合，为量子引力理论提供了新的思路。
	
	\begin{thebibliography}{99}
		\bibitem{1} Einstein A. Die Feldgleichungen der Gravitation[J]. Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften, 1915: 844-847.
		\bibitem{2} Penrose R. On the gravitization of quantum mechanics 1: Quantum state reduction[J]. Foundations of Physics, 2014, 44(5): 557-575.
		\bibitem{3} Verlinde E. On the origin of gravity and the laws of Newton[J]. Journal of High Energy Physics, 2011, 2011(4): 1-27.
	\end{thebibliography}
	
	\section*{附录：主要计算公式总结}
	
	\subsection*{A. 引力常数 $G$}
	\[
	G = \frac{a_c a^2}{b} \left[ 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(2k+1)!!}{2^k k!} \left( \frac{x}{a} \right)^{2k} \right]^{-1}
	\]
	
	\subsection*{B. 光速 $c$}
	\[
	c = \sqrt{ \frac{a_c a^2}{b} } \left[ 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(2k+1)!!}{2^k k!} \left( \frac{x}{a} \right)^{2k} \right]^{-1/2}
	\]
	
	\subsection*{C. 截断参数 $n_{\text{max}}$}
	\[
	n_{\text{max}} = \left\lfloor \frac{1}{2} \log_2 \left( \frac{c^2 b}{a_c a^2} \right) \right\rfloor
	\]
	
	\subsection*{D. 速度 $v_n$}
	\[
	v_n = \sqrt{ \frac{a_c a^2}{b} } \left[ \sum_{k=0}^{n} \frac{(2k+1)!!}{2^k k!} \left( \frac{x}{a} \right)^{2k} \right]^{-1/2}
	\]
	